En arquitectura, existen cálculos matemáticos para la construcción de edificios, uno de los cuales es un sistema de ecuaciones lineales. El sistema de ecuaciones lineales es útil para determinar las coordenadas de los puntos de intersección. Las coordenadas correctas son esenciales para producir un edificio que coincida con el boceto. En este artículo, discutiremos un sistema de ecuaciones lineales de tres variables (SPLTV).
El sistema de ecuaciones lineales de tres variables consta de varias ecuaciones lineales con tres variables. La forma general de una ecuación lineal de tres variables es la siguiente.
ax + por + cz = d
a, b, cyd son números reales, pero a, byc no pueden ser todos 0. La ecuación tiene muchas soluciones. Se puede obtener una solución equiparando cualquier valor a las dos variables para determinar el valor de la tercera variable.
Un valor (x, y, z) es el conjunto de soluciones para un sistema de ecuaciones lineales de tres variables si el valor (x, y, z) satisface las tres ecuaciones en SPLTV. El conjunto de liquidación SPLTV se puede determinar de dos formas, a saber, el método de sustitución y el método de eliminación.
Método de sustitución
El método de sustitución es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales sustituyendo el valor de una variable de una ecuación a otra. Este método se lleva a cabo hasta obtener todos los valores de las variables en un sistema de ecuaciones lineales de tres variables.
(Lea también: Sistema de ecuación lineal de dos variables)
El método de sustitución es más fácil de usar en SPLTV que contiene ecuaciones con un coeficiente de 0 o 1. Estos son los pasos para resolver el método de sustitución.
- Encuentra una ecuación que tenga formas simples. Las ecuaciones simplificadas tienen un coeficiente de 1 o 0.
- Exprese una variable en forma de las otras dos variables. Por ejemplo, la variable x se expresa en términos de yo z.
- Sustituya los valores de las variables obtenidos en el segundo paso por otras ecuaciones en SPLTV, de modo que se obtenga un sistema de ecuaciones lineales de dos variables (SPLDV).
- Determine el acuerdo SPLDV obtenido en el paso tres.
- Determine los valores de todas las variables desconocidas.
Hagamos el siguiente problema de ejemplo. Encuentre el conjunto de soluciones para el siguiente sistema de ecuaciones lineales de tres variables.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Primero, podemos convertir la ecuación (1) en, z = -x - y - 6 en la ecuación (4). Luego, podemos sustituir la ecuación (4) en la ecuación (2) de la siguiente manera.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Después de eso, podemos sustituir la ecuación (4) por la ecuación (3) de la siguiente manera.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Tenemos los valores para x = -5 e y = -3. Podemos insertarlo en la ecuación (4) para obtener el valor z de la siguiente manera.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3-6
z = 2
Entonces, tenemos el conjunto de soluciones (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Método de eliminación
El método de eliminación es un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales eliminando una de las variables en dos ecuaciones. Este método se lleva a cabo hasta que solo quede una variable.
El método de eliminación se puede utilizar en todos los sistemas de ecuaciones lineales de tres variables. Pero este método requiere un paso largo porque cada paso solo puede eliminar una variable. Se requiere un mínimo de 3 métodos de eliminación para determinar el conjunto de liquidación de SPLTV. Este método es más fácil cuando se combina con el método de sustitución.
Los pasos para completar usando el método de eliminación son los siguientes.
- Observe las tres similitudes en SPLTV. Si dos ecuaciones tienen el mismo coeficiente en la misma variable, reste o sume las dos ecuaciones para que la variable tenga un coeficiente de 0.
- Si ninguna variable tiene el mismo coeficiente, multiplique ambas ecuaciones por el número que hace que el coeficiente de una variable en ambas ecuaciones sea el mismo. Reste o sume las dos ecuaciones para que la variable tenga un coeficiente de 0.
- Repita el paso 2 para otros pares de ecuaciones. La variable omitida en este paso debe ser la misma que la variable omitida en el paso 2.
- Después de obtener dos nuevas ecuaciones en el paso anterior, determine el conjunto de soluciones para las dos ecuaciones usando el método de solución del sistema de ecuaciones lineales de dos variables (SPLDV).
- Sustituya el valor de las dos variables obtenidas en el paso 4 en una de las ecuaciones de SPLTV para que se obtenga el valor de la tercera variable.
Intentaremos utilizar el método de eliminación en el siguiente problema. ¡Determine el conjunto de soluciones SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV se puede determinar eliminando la variable z. Primero, sume las ecuaciones (1) y (2) para obtener:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Luego, multiplique 2 en la ecuación (2) y multiplique 1 en la ecuación (1) para obtener:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5 veces = 25
x = 5
Después de conocer el valor de x, sustitúyalo por la ecuación (4) de la siguiente manera.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Sustituya los valores de x e y en la ecuación (2) de la siguiente manera.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
De modo que el conjunto de soluciones SPLTV (x, y, z) es (5, 3, -1).
