Las matemáticas generan un estigma aterrador para los estudiantes, aunque cuanto más explores y practiques las matemáticas a menudo, más divertido y agradable será. Entonces , ahora te invitaremos a conocer más sobre la inducción matemática. ¿Qué es la inducción matemática y para qué se utiliza?
La inducción matemática en sí misma puede interpretarse como una técnica de prueba en matemáticas. Se usa para probar declaraciones especiales que contienen números naturales. La prueba con este método produce conclusiones generales.
Introducción a la inducción matemática
Al probar usando inducción matemática, se obtienen conclusiones generales. Hay dos tipos de razonamiento que se utilizan para obtener conclusiones, a saber, el razonamiento deductivo y el razonamiento inductivo.
- El razonamiento deductivo es un razonamiento que comienza con declaraciones generales a declaraciones específicas. Este enfoque se denomina enfoque "general-específico" porque el razonamiento comienza con lo general y luego concluye con cosas específicas. Ejemplo; todas las manzanas son frutas, todas las frutas crecen en los árboles, entonces todas las manzanas crecen en los árboles.
- El razonamiento inductivo es un razonamiento que comienza desde declaraciones específicas hasta declaraciones generales. Este enfoque se denomina enfoque “general-específico” porque las declaraciones se componen de puntos específicos para llegar a conclusiones generalmente aceptadas. Ejemplo; Un pasajero del autobús observa que cada vez que el conductor del autobús pisa el pedal del freno, todos los pasajeros del autobús serán empujados hacia adelante.
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Además, el método de inducción matemática se puede utilizar para probar la verdad de una hipótesis especial de modo que sea generalmente aceptada. Por tanto, este método se utiliza como prueba en el razonamiento inductivo.
Aplicación de la inducción matemática
La aplicación de la inducción matemática se puede encontrar en varias ramas de las matemáticas. Las hipótesis dispuestas en matemáticas deben probarse para ser aceptadas en general. Una hipótesis es generalmente válida si se demuestra que es cierta para todos los valores numéricos utilizados. Aquí hay un ejemplo de una declaración que se puede probar de esta manera.
Demuestre que la suma de las -n series de números impares es n2. Donde n es un número natural.
Solución: P n = 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 se aplica a cada n € A
El paso básico: para n = 1, obtenemos que P1 = 1 = 12 es correcto.
Paso de inducción: suponga que para n = k, P k es verdadero. Se mostrará que para n = k + 1, P (k + 1) = (k + 1) 2 es verdadero.
Preste atención a los siguientes pasos:
Para n = k, entonces P k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 es verdadero.
Sumando [2 (k + 1) -1] a los dos lados, entonces
P (k + 1) = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]
= k2 + 2k + 2 -
= k2 + 2k +
= (k + 1) 2 (probado)
Principios de inducción matemática
Sea P (n) un enunciado que contiene números naturales. Se puede demostrar que la expresión P (n) es cierta para todos los números naturales n, siguiendo los pasos de la inducción matemática.
Estos son los pasos en la prueba usando este método:
- Demuestre que P (1) es verdadero o P (n) es verdadero para n = 1.
- Si P (k) es verdadero, entonces demuestre que P (k + 1) es verdadero para cada entero positivo k.
Si los pasos (1) y (2) son correctos, se puede concluir que P (n) es cierto para todo número natural n. El paso 1 se denomina paso básico, mientras que el paso 2 se denomina paso de inducción.
